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quinta-feira, 1 de setembro de 2011

Quanto é 0 elevado a 0?

Não é uma pergunta sem resposta, é uma pergunta difícil de responder mas que as pessoas que a sabem responder pensam ter a certeza que estão certas, mas não estão (segundo outras).
A mim, pessoalmente, foi-me ensinado que qualquer número elevado a 0 é igual a 1!
Mas isto é a minha opinião, vamos perguntar ao pessoal dos números...

Reparem no que aconteceu quando eu perguntei "Quanto é 0^{0}?" a um grupo de gente com cabeça:




Estudante inteligente:
E.I.: Já sei!
E.I.: x^{0} =  x^{1-1} = x^{1} x^{-1} = \frac{x}{x} = 1.E.I.: Agora substituindo o x por 0 vemos que 0^{0}=1





Estudante ainda mais inteligente:
E.A.M.I.: Assim está errado, não podes dividir por 0 como fizeste no último passo, portanto a resposta é:
E.A.M.I.: 0^{x} 0^{1+x-1}0^{1} \times 0^{x-1}0 \times 0^{x-1}0
E.A.M.I.: Substituindo o x por 0, e visto que 0x0 é 0, chegamos à conclusão que 0^{0} = 0!




O estudante mais inteligente de todos:
E.M.I.T.: Assim também não funciona, porque se x=0 então 0^{x-1} é igual a  0^{-1} = \frac{1}{0}
E.M.I.T.: Por isso no teu terceiro passo também fazes a divisão por zero, errado!
E.M.I.T.: Em vez disso podemos olhar para a função x^{x} e ver o que acontece quando x>0 fica mais pequeno. Assim temos:

\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \exp(\log(x^{x}))

= \lim_{x \to 0^{+}} \exp(x \log(x))

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } x \log(x) )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{\log(x)}{ x^{-1} } )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{ \frac{d}{dx} \log(x) }{ \frac{d}{dx} x^{-1} } )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{x^{-1}}{- x^{-2}} )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } -x )

= \exp( 0)

= 1

E.M.I.T.: Então, como  \lim_{x \to 0^{+}} x^{x}  = 1, isso significa que 0^{0} = 1.




Professor Universitário:
P.U.: Mostrar que x^{x} se aproxima de 1 como um valor positivo a descair para o 0, não prova que 0^{0} = 1.
P.U.: O facto de a variável x ter um valor próximo de zero é diferente de ser exactamente 0.
P.U.: Desta forma prova que 0^{0} é um valor indefinido, não tem valor!



Professor de Cálculo Avançado:
P.C.A.: Para todo o x>0, temos 0^{x} = 0
P.C.A.: Logo, \lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = 0
P.C.A.: Isto é quando o x se aproxima de 0 (mas continua positivo),  0^{x} fica 0.
P.C.A.: Por outro lado, para número reais y se y \ne 0, temos y^{0} = 1
P.C.A.: Logo \lim_{y \to 0} y^{0} = 1, quando o y se aproxima de 0, y^{0} fica 1.  
P.C.A.: Então, vemos que a função f(x,y) = y^{x} tem descontinuidade no ponto (0,0).
P.C.A.: Em particular, quando nos aproximamos desse ponto pelo eixo das ordenadas, temos \lim_{x \to 0^{+}} f(x,0) = 0
P.C.A.: Mas se aproximarmos desse ponto pelo eixo positivo das abcissas, temos \lim_{x \to 0^{+}} f(x,0) = 0
P.C.A.: Quero dizer com isto que o valor de \lim_{(x,y) \to (0,0)} y^{x}  vai depender da direcção que tomamos o limite. Isto significa que não há forma de definir 0^{0} de forma a que a função y^{x} seja contínua no ponto (0,0).




Matemático:
M.: Zero elevado a zero é 1. Porquê? Porque nós dizemos que sim! Não, é porque é mesmo verdade.
M.: Vamos considerar o problema em definir a função f(x,y) = y^x para inteiros positivos x e y.
M.: Há tantas definições que nos dão resultados idênticos, por exemplo, uma idéia é usar para nossa definição o seguinte:
M.: y^x= 1 \times y \times y \cdots \times y - onde o y é repetido x vezes. Nesse caso se o x for 1, temos y^{x}= 1 \times y.
M.: Esta definição extende-se desde os negativos inteiros até aos positivos. Logo se y for 0, temos 0^0 = 1
M.: Vês, já provei que 0^0 = 1! Mas isto é só uma possível definição para y^x.


M.: Podemos tentar outra. Por exemplo, supõe que decidimos definir y^x com esta expressão: y^x :=\lim_{z \to x^{+}} y^{z}
M.: Por palavras, significa que o valor de y^x é definido pelo y^z, número real z que se aproxima ficando mais e mais pequeno aproximando-se do valor x. [Working with z>0]
M.: Interessante, usando esta definição, podemos ter 0^0 = \lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} 0 = 0
M.: Então, vamos ver que 0^0 = 0 e não 1.


M.: Garantidamente, esta definição que fizemos agora parece estranha mas vai de acordo ao senso comum do que y^x significa para todos os números reais positivos de x e y e desta forma a função tem continuidade à medida que nos aproximamos de x=0 e y=0
M.: Então qual destas 2 definições está certa? O que é o 0^0 afinal? Bem para x>0 e y>0, já sabemos o que queremos dizer por y^x. Mas quando x=0 e y=0, a fórmula não tem significado óbvio.
M.: O valor de y^x vai depender da nossa escolha de definição do que é que entendemos por essa afirmação. [WTF]
M.: A nossa intuição sobre o valor de y^x para valores positivos de y e x não é suficiente para concluir o valor de y^x para valores nulos.


Eu.: Então se é assim, porque é que os matemáticos dizem com todas as certezas que 0^0=1?
M.: Bem, acho que é porque dá mais jeito. Algumas fórmulas mais "importantes" ficam menos agradáveis se em vez de 1, nós usássemos o 0^0=0, ou se disséssemos que era indefinido.


M.:Por exemplo veja o Teorema Binomial que diz o seguinte:
M.: (a+b)^x = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} a^k b^{x-k}  - onde \binom{x}{k} são os coeficientes binomiais.
M.: Desta forma se colocarmos o a=0, assumindo que b \ne 0 temos:
b^x = (0+b)^x = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} 0^k b^{x-k}
= \binom{x}{0} 0^0 b^{x} + \binom{x}{1} 0^1 b^{x-1} + \binom{x}{2} 0^2 b^{x-2} + \hdots
= \binom{x}{0} 0^0 b^{x}
= 0^0 b^{x}
M.: Onde digo que 0^k = 0 para todo o k>0, e \binom{x}{0} = 1. Agora acontece que já temos o factor mágico 0^0.
M.: Por isso, se 0^0 não fosse igual a 1, então o teorema binomial não funciona quando o a=0 porque o b^x já não é igual a 0^0 b^{x}
M.: Se nós usássemos o 0^0 = 0, ou disséssemos que o valor é indefinido, o teorema estava certo apenas até certo ponto, exceptuando o caso de cima.


M.: Há mais razões pela qual usamos o valor 1, mas chegamos sempre à mesma conclusão se as explicasse - É preferível o 1 aos outros resultados todos, para alguns teoremas baterem sempre certo, assim é mais natural e correcto para a matemática.
O resultado não é o mais correcto, é o certo!


- Deixo a pergunta, como é que ainda há gente que não gosta de matemática...